Question

9．椭圆$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的焦距为$4\sqrt{5}$，F₁、F₂为椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，△PF₁F₂的周长为$4\sqrt{5}+12$，则椭圆C的方程是$\frac{{x}^{2}}{36}+\frac{{y}^{2}}{16}=1$．

Answer 1

分析 由题意可知c=2$\sqrt{5}$，由△PF₁F₂的周长l=2a+2c=$4\sqrt{5}+12$，即可求得a和c的值，b²=a²-c²，即可求得椭圆方程．

解答 解：由2c=4$\sqrt{5}$，则c=2$\sqrt{5}$，
由△PF₁F₂的周长l=2a+2c=$4\sqrt{5}+12$，则2a=12，
即a=6，b²=a²-c²=36-20=16，
∴椭圆的标准方程：$\frac{{x}^{2}}{36}+\frac{{y}^{2}}{16}=1$，
故答案为：$\frac{{x}^{2}}{36}+\frac{{y}^{2}}{16}=1$．

点评 本题考查椭圆的标准方程，焦点三角形的周长公式，考查计算能力，属于基础题．