Question

9．设y=f（x）是二次函数，方程f（x）=0有两个相等的实根，且f'（x）=2x+2．
（1）求y=f（x）的表达式；
（2）若直线x=-t（0＜t＜1）把y=f（x）的图象与两条坐标轴所围成的图形分成面积相等的两部分，求t的值．

Answer 1

分析 （1）设f（x）=x²+2x+n，根据△=0求出n即可；
（2）根据定积分的几何意义列方程解出t．

解答 解：（1）∵f'（x）=2x+2，∴f（x）=x²+2x+n（n为常数），
∵f（x）=0有两个相等的实根，∴4-4n=0，即n=1，
∴f（x）=x²+2x+1．
（2）f（x）与x轴的交点为（-1，0），与y轴的交点为（0，1），
∴y=f（x）的图象与两条坐标轴所围成的图形面积S=${∫}_{-1}^{0}$（x²+2x+1）dx=（$\frac{{x}^{3}}{3}+{x}^{2}+x$）${|}_{-1}^{0}$=$\frac{1}{3}$，
∵直线x=-t（0＜t＜1）把y=f（x）的图象与两条坐标轴所围成的图形分成面积相等的两部分，
∴${∫}_{-t}^{0}$（x²+2x+1）dx=$\frac{1}{6}$，即$\frac{1}{3}$t³-t²+t=$\frac{1}{6}$，∴2（t-1）³=-1，∴t=1-$\frac{1}{\root{3}{2}}$．

点评 本题主要考查用待定系数法求函数的解析式，导数的运算，定积分的应用，属于中档题．