题目内容
11．△ABC的面积为$\frac{{3\sqrt{15}}}{4}$，$cosB=-\frac{1}{4}$，AC=4，则△ABC的周长为9．分析 由已知及余弦定理可得：16=AB2+BC2+$\frac{1}{2}$AB•BC，利用同角三角函数基本关系式可求sinB，利用三角形面积公式可求AB•BC=6，联立，解得：AB+BC=5，即可计算得解三角形的周长．
解答 解：∵$cosB=-\frac{1}{4}$，AC=4，
∴由余弦定理可得：16=AB2+BC2+$\frac{1}{2}$AB•BC①，
∴sinB=$\sqrt{1-co{s}^{2}B}$=$\frac{\sqrt{15}}{4}$，
又∵△ABC的面积为$\frac{{3\sqrt{15}}}{4}$=$\frac{1}{2}$AB•BC•sinB=$\frac{1}{2}×AB×BC×$$\frac{\sqrt{15}}{4}$，解得：AB•BC=6②，
∴联立①②，解得：AB+BC=5，
∴△ABC的周长为AB+BC+AC=5+4=9．
故答案为：9．
点评 本题主要考查了余弦定理，同角三角函数基本关系式，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
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