Question

16．在平面直角坐标系xOy中，C₁的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=1-\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=1+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数），在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，C₂的极坐标方程ρ²-2ρcosθ-3=0．
（1）求C₁的普通方程；C₂的直角坐标方程；
（2）C₁与C₂有两个公共点A、B，求线段AB的长．

Answer 1

分析 （1）消去参数t，求出C₁的普通方程即可，根据x=ρcosθ，y=ρsinθ，ρ²=x²+y²求出C₂的直角坐标方程即可；
（2）将C₁的参数方程代入x²+y²-2x-3=0中，得：t²+$\sqrt{2}$t-3=0．由韦达定理能求出线段AB的长即可．

解答 解：（1）∵C₁的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=1-\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=1+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数），
∴C₁的普通方程是：x+y=2，
由C₂的极坐标方程ρ²-2ρcosθ-3=0，
化为普通方程：x²+y²-2x-3=0；
（2）的极坐标平面直角坐标为在直线C₁上，
将C₁的参数方程$\left\{\begin{array}{l}{x=1-\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=1+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数），代入x²+y²-2x-3=0中，得：
（1-$\frac{\sqrt{2}}{2}$t）²+（1+$\frac{\sqrt{2}}{2}$t）²-2（1-$\frac{\sqrt{2}}{2}$t）-3=0，
化简得：t²+$\sqrt{2}$t-3=0．
设两根分别为t₁，t₂，
由韦达定理知：t₁+t₂=-$\sqrt{2}$，t₁t₂=-3，
所以AB的长|AB|=$\sqrt{{{（t}_{1}{+t}_{2}）}^{2}-{{4t}_{1}t}_{2}}$=$\sqrt{14}$．

点评 本题考查圆、直线方程、极坐标方程、直角坐标方程、参数方程、韦达定理等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题．