Question

13．如图，已知二面角α-l-β的大小为60°，其棱上有A，B两点，直线AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB，已知AB=2，AC=3，BD=4，则线段CD的长为$\sqrt{17}$．

Answer 1

分析 推导出$\overrightarrow{CD}$=$\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}$，由此能求出CD的长．

解答 解：∵二面角α-l-β的大小为60°，其棱上有A，B两点，
直线AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，
且都垂直于AB，AB=2，AC=3，BD=4，
∴$\overrightarrow{CD}$=$\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}$，
∴${\overrightarrow{CD}}^{2}$=（$\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}$）²
=${\overrightarrow{CA}}^{2}+{\overrightarrow{AB}}^{2}+{\overrightarrow{BD}}^{2}$+2$\overrightarrow{CD}•\overrightarrow{AB}$+2$\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{BD}$+2$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{BD}$
=4+9+16+2|$\overrightarrow{CA}$|•|$\overrightarrow{BD}$|cos120°
=29-12=17，
∴|$\overrightarrow{CD}$|=$\sqrt{17}$，即CD的长为$\sqrt{17}$．
故答案为：$\sqrt{17}$．

点评 本题考查线段长的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．