Question

8．从某企业的一种产品中抽取40件产品，测量其某项质量指标，测量结果的频率分布直方图如图所示．
（Ⅰ）求这40件样本该项质量指标的平均数$\overline{x}$；
（Ⅱ）从180（含180）以上的样本中随机抽取2件，记质量指标在[185，190]的件数为X，求X的分布列及数学期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据频率分布直方图，计算数据的平均值是各小矩形底边中点与对应的频率乘积的和；
（Ⅱ）首先分别求质量指标在[180，185]的件数：0.020×5×40=4，质量指标在[185，190]的件数有：0.010×5×40=2，然后求出X=0、1、2时的概率，进而求出X的分布列及数学期望即可．

解答 解：（Ⅰ）由频率分布直方图可知，这40件样本该项质量指标的平均数$\overline{x}$=162.5×0.05+167.5×0.125+172.5×0.35+177.5×0.325+182.5×0.1+187.5×0.05=174.75cm；
（Ⅱ）由频率分布直方图可知，质量指标在[180，185]的件数：0.020×5×40=4，质量指标在[185，190]的件数有：0.010×5×40=2，∴X的可能值为：0，1，2；
P（X=0）=$\frac{{C}_{4}^{2}}{{C}_{6}^{2}}$=$\frac{2}{5}$，P（X=1）=$\frac{{C}_{4}^{1}{C}_{2}^{1}}{{C}_{6}^{2}}$=$\frac{8}{15}$，P（X=2）=$\frac{{C}_{2}^{2}}{{C}_{6}^{2}}$=$\frac{1}{15}$，
所以分布列为：

X	0	1	2
P	$\frac{2}{5}$	$\frac{8}{15}$	$\frac{1}{15}$

数学期望E（X）=0×$\frac{2}{5}$+1×$\frac{8}{15}$+2×$\frac{1}{15}$=$\frac{2}{3}$．

点评 本题主要考查了频率分布直方图的应用问题，考查了分布列以及数学期望，解答此题的关键是要熟练掌握利用频率分布直方图，计算数据的平均值的方法．