Question

3．函数f（x）=1+x-$\frac{{x}^{2}}{2}$+$\frac{{x}^{3}}{3}$-$\frac{{x}^{4}}{4}$+…+$\frac{{x}^{2015}}{2015}$-$\frac{{x}^{2016}}{2016}$在区间[-2，2]上的零点个数为（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 求导f′（x）=1-x+x²-x³+…+x²⁰¹⁴-x²⁰¹⁵，分类讨论以确定f（x）的单调性，从而确定函数的极值的正负，从而利用函数的零点判定定理判断即可．

解答 解：∵f（x）=1+x-$\frac{{x}^{2}}{2}$+$\frac{{x}^{3}}{3}$-$\frac{{x}^{4}}{4}$+…+$\frac{{x}^{2015}}{2015}$-$\frac{{x}^{2016}}{2016}$，
∴f′（x）=1-x+x²-x³+…+x²⁰¹⁴-x²⁰¹⁵，
当x=-1时，f′（x）=2016＞0，
当x≠-1时，f′（x）=$\frac{1-{x}^{2016}}{1+x}$，
故当-2＜x＜-1或-1＜x＜1时，f′（x）＞0；
当1＜x＜2时，f′（x）＜0；
故f（x）在[-2，1]上单调递增，在（1，2]上单调递减，
又∵f（-2）＜0，f（1）＞0，f（2）＜0，
∴f（x）在（-2，1）和（1，2）内各有一个零点，
故选：B．

点评 本题考查了导数的综合应用及分类讨论的思想应用，同时考查了零点的判定定理的应用．