Question

等差数列{a_n}各项均为正数，求证：

1

a1 + a2

+

1

a2 + a3

+…+

1

an-1 + an

=

n-1

an + a1

．

Answer 1

考点：等差数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：由题意可得等差数列{a_n}各项均为正数，设其公差为d，当公差d≠0时可得

1

an-1 + an

=

1

d

（

an

-

an-1

），代入计算可得等式，当公差d=0时，验证可得．

解答： 解：由题意可得等差数列{a_n}各项均为正数，设其公差为d，
当公差d≠0时，

1

an-1 + an

=

an - an-1

( an-1 + an )( an - an-1 )

=

an - an-1

an-an-1

=

1

d

（

an

-

an-1

）
∴

1

a1 + a2

+

1

a2 + a3

+…+

1

an-1 + an

=

1

d

（

a2

-

a1

+

a3

-

a2

+…+

an

-

an-1

）
=

1

d

（

an

-

a1

）=

1

d

（

an

-

a1

）
=

1

d

•

( an - a1 )( an + a1 )

an + a1

=

1

d

•

an-a1

an + a1

=

1

d

•

(n-1)d

an + a1

=

n-1

an + a1

当公差d=0时，

an

=

a1

，易验证上式也成立

点评：本题考查等差数列的性质和通项公式，涉及计分类讨论和分母有理化，属中档题．