题目内容
若{an}为等比数列，公比为q，则数列{
}，{an2}，{
}（an＞0），{lgan}（an＞0），{2 an}，哪些是等比数列？如果是，公比是多少？
| 1 |
| an |
| an |
考点：等比数列的性质
专题：等差数列与等比数列
分析：由数列{an}是等比数列，得其通项公式，再分别得到数列{
}，{an2}，{
}（an＞0），{lgan}（an＞0），{2 an}的通项公式，然后利用等比数列的定义加以判断．
| 1 |
| an |
| an |
解答：
解：若数列{an}是等比数列，且首项为a1，公比为q，
则
=
•(
)n-1，这是一个以
为首项，以
为公比的等比数列；
an=a1•qn-1，则an2=a12•q2（n-1），这是一个以a12为首项，以q2为公比的等比数列；
由an＞0，得
=
=
=
，
∴{
}（an＞0）是以
为首项，以
为公比的等比数列；
由an＞0，得
=
=
不是常数，
∴数列{lgan}（an＞0）不是等比数列；
由
=2an+1-an=2a1qn-1(q-1)不是常数，
∴数列{2 an}不是等比数列．
则
| 1 |
| an |
| 1 |
| a1 |
| 1 |
| q |
| 1 |
| a1 |
| 1 |
| q |
an=a1•qn-1，则an2=a12•q2（n-1），这是一个以a12为首项，以q2为公比的等比数列；
由an＞0，得
| ||
|
|
|
| q |
∴{
| an |
| a1 |
| q |
由an＞0，得
| lgan+1 |
| lgan |
| lg(a1•qn) |
| lg(a1•qn-1) |
| lga1+nlgq |
| lga1+(n-1)lgq |
∴数列{lgan}（an＞0）不是等比数列；
由
| 2an+1 |
| 2an |
∴数列{2 an}不是等比数列．
点评：本题考查了等比数列的定义，考查了等比数列的通项公式，考查了有理指数幂的运算性质与对数的运算性质，是中档题．
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