Question

已知函数f（x）=cos²x+sinxcosx-

1

2

，
（1）求函数f（x）的最大值和最小正周期；
（2）求函数f（x）的最大值及取最大值时x的取值集合；
（3）求函数f（x）的单调递增区间．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,三角函数的周期性及其求法

专题：三角函数的求值,三角函数的图像与性质

分析：（1）首先利用三角恒等变换版型成正弦型函数，进一步求最小正周期和最值．
（2）直接利用整体思想求x的集合．
（3）利用整体思想求单调区间．

解答： 解：（1）函数f（x）=cos²x+sinxcosx-

1

2

=

cos2x+1

2

+

sin2x

2

-

1

2

=

2

2

sin(2x+

π

4

)，
所以：f(x)max=

2

2

  T=

2π

2

=π；
（2）当2x+

π

4

=2kπ+

π

2

时，即x=kπ+

π

8

函数取最大值f(x)max=

2

2

，
{x|x=kπ+

π

8

}（k∈Z）；
（3）令2kπ-

π

2

≤2x+

π

4

≤2kπ+

π

2

，
解得：kπ-

3π

8

≤x≤kπ+

π

8

（k∈Z），
即函数的单调递增区间为：[kπ-

3π

8

，kπ+

π

8

]（k∈Z）．

点评：本题考查的知识点：三角函数的恒等变换，正弦型函数的最小正周期，单调区间和最值．