Question

已知函数f（x）=ax³-3x²+1-

3

a

（a≠0）
（Ⅰ）若f（x）的图象在x=-1处的切线与直线y=-

1

3

x+1垂直，求实数a的取值；
（Ⅱ）求函数y=f（x）的单调区间；
（Ⅲ）若a=1时，过点M（2，m）（m≠-6），可作曲线y=f（x）的三条切线，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）求出函数的导数，根据直线垂直关系即可得到结论．
（Ⅱ）求函数的导数，根据函数单调性和导数之间的关系，即可求函数y=f（x）的单调区间；
（Ⅲ）求出函数的导数，根据导数的 几何意义以建立条件关系即可得到结论．

解答： 解：（Ⅰ）f′(x)=3ax2-6x=3ax(x-

2

a

)，f'（-1）=3a+6=3，得a=-1．
（Ⅱ）当a＞0时，

2

a

＞0，
由f′（x）＞0解得x＜0，或x＞

2

a

，
由f′（x）＜0解得0＜x＜

2

a

，
所以f（x）在区间（-∞，0），（

2

a

，+∞）上单调递增，在区间（0，

2

a

）上单调递减．
当a＜0时，

2

a

＜0，
由f′（x）＞0解得

2

a

＜x＜0
由f′（x）＜0解得x＜

2

a

，或x＞0．
所以f（x）在区间(

2

a

，0)上单调递增，在区间(-∞，

2

a

)，（0，+∞）上单调递减．
（Ⅲ）∵点M（2，m）（m≠-6）不在曲线y=f（x）上，
∴设切点为（x₀，y₀）．则y₀=x₀³-3x₀²-2．
∵f'（x₀）=3x₀²-6x₀，∴切线的斜率为3x₀²-6x₀．
则3x₀²-6x₀=

x03-3x02-2-m

x0-2

，即2x₀³-9x₀²+12x₀+2+m=0．
因为过点M（2，m）（m≠-6），可作曲线y=f（x）的三条切线，
所以方程2x₀³-9x₀²+12x₀+2+m=0有三个不同的实数解．
即函数g（x）=2x³-9x²+12x+2+m有三个不同的零点．
则g'（x）=6x²-18x+12=6（x²-3x+2）=6（x-2）（x-1）．
令g'（x）=0，解得 x=1或x=2．

x	（-∞，1）	1	（1，2）	2	（2，+∞）
g'（x）	+	0	-	0	+
g（x）	↗	极大值	↘	极小值	↗

∴

g(1)＞0 g(2)＜0

即

7+m＞0 6+m＜0

解得-7＜m＜-6．

点评：本题主要考查函数的单调性和导数之间的关系以及导数的几何意义，要求熟练掌握导数的综合应用．