题目内容
已知点P是曲线y=
上一动点，α为曲线在P处的切线的倾斜角，α的最小值为 ，α的取值范围是 ．
| 3-ex |
| ex+1 |
考点：利用导数研究曲线上某点切线方程
专题：导数的综合应用
分析：求出函数的导数，根据导数的几何意义，利用基本不等式即可得到结论．
解答：
解：函数y=f（x）=
的导数为f′（x）=
=
=-
，
∵ex+
+2≥2
+2=2+2=4，当且仅当x=0时取等号，
∴0＜
≤
，
即0＜
≤1，
-1≤-
＜0
则-1≤f′（x）＜0，
即-1≤tanα＜0，
∴
≤α＜π，
即α的最小值为
，α的取值范围是
≤α＜π，
故答案为：
，
≤α＜π
| 3-ex |
| ex+1 |
| -4ex |
| (ex+1)2 |
| -4ex |
| (ex)2+2ex+1 |
| 4 | ||
ex+
|
∵ex+
| 1 |
| ex |
ex•
|
∴0＜
| 1 | ||
ex+
|
| 1 |
| 4 |
即0＜
| 4 | ||
ex+
|
-1≤-
| 4 | ||
ex+
|
则-1≤f′（x）＜0，
即-1≤tanα＜0，
∴
| 3π |
| 4 |
即α的最小值为
| 3π |
| 4 |
| 3π |
| 4 |
故答案为：
| 3π |
| 4 |
| 3π |
| 4 |
点评：本题主要考查导数的几何意义，函数导数和倾斜角之间的关系，利用基本不等式求出最值是解决本题的关键．综合性较强，质量较高．
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