Question

已知函数f（x）=a-

2

3x+1

（x∈R），其中a∈R．
（Ⅰ）是否存在实数a，使f（x）为奇函数？若存在求出a的值，若不存在说明理由；
（Ⅱ）判断并证明f（x）的单调性；
（Ⅲ）若对任意实数x∈（0，1），由f（λx+1）＞f（λ²+x）恒成立，求实数λ的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,函数奇偶性的性质,利用导数研究函数的单调性

专题：计算题,函数的性质及应用,导数的综合应用

分析：（Ⅰ）由题意，若存在，则f（-x）+f（x）=0；从而化简可得2a-2=0，解出代回检验；
（Ⅱ）先判断函数f（x）=a-

2

3x+1

是R上的增函数，再出函数的四则运算证明函数的单调性；
（Ⅲ）由f（x）=a-

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3x+1

是R上的增函数，f（λx+1）＞f（λ²+x）可化为λx+1＞λ²+x；即（λ-1）x-λ²+1＞0对任意实数x∈（0，1）恒成立，从而解得．

解答： 解：（Ⅰ）由题意，若存在，
则f（-x）+f（x）=0；
即a-

2

3-x+1

+a-

2

3x+1

=0；
即2a-2=0，
解得a=1；
经检验，当a=1时，f（x）=1-

2

3x+1

是R上的奇函数；
故a=1；
（Ⅱ）函数f（x）=a-

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3x+1

是R上的增函数，证明如下，
∵y=3^x+1＞1且在R上是增函数，
∴y=

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3x+1

＞0且在R上是减函数，
故y=-

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3x+1

在R上是增函数，
故f（x）=a-

2

3x+1

是R上的增函数；
（Ⅲ）∵f（x）=a-

2

3x+1

是R上的增函数，
∴f（λx+1）＞f（λ²+x）可化为λx+1＞λ²+x；
即（λ-1）x-λ²+1＞0对任意实数x∈（0，1）恒成立，
故-λ²+1≥0且（λ-1）-λ²+1≥0，
解得，0≤λ≤1．

点评：本题考查了导数的综合应用及恒成立问题，属于中档题．