Question

已知三次函数f（x）=x³-

3

2

ax²+b（a，b∈R）
（1）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处切线斜率为-1，且f（x）在区间[-1，1]上最大值为-1，求函数f（x）的解析式；
（2）若a＞0，解关于x的不等式f′（x）＞3x²+

1

x

-（a+3）

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：综合题,导数的综合应用

分析：（1）求导数，利用曲线y=f（x）在点（1，f（1））处切线斜率为-1，且f（x）在区间[-1，1]上最大值为-1，求出a，b，即可求函数f（x）的解析式；
（2）不等式f′（x）＞3x²+

1

x

-（a+3）可化为不等式-3ax＞

1

x

-（a+3），即

(3x-1)(ax-1)

x

＞0，分类讨论，即可解不等式．

解答： 解：（1）∵f（x）=x³-

3

2

ax²+b，
∴f′（x）=3x²-3ax，
∵y=f（x）在点（1，f（1））处切线斜率为-1，
∴3-3a=-1，
∴a=

4

3

，
∴f′（x）=3x（x-

4

3

），
∵f（x）在区间[-1，1]上最大值为-1，
∴f（0）=b=-1，
∴f（x）=x³-2x²-1；
（2）不等式f′（x）＞3x²+

1

x

-（a+3）可化为不等式-3ax＞

1

x

-（a+3），
∴

(3x-1)(ax-1)

x

＞0，
0＜a＜3时，不等式的解集为{x|0＜x＜

1

3

或x＞

1

a

}；
a=3时，不等式的解集为{x|x＞0且x≠

1

a

}；
a＞3，不等式的解集为{x|0＜x＜

1

a

或x＞

1

3

}．

点评：本题考查导数知识的综合运用，考查导数的几何意义，考查解不等式，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．