题目内容
5．已知椭圆Γ：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0））的右焦点为（2$\sqrt{2}$，0），且过点c＞1．（Ⅰ）求椭圆Γ的标准方程；
（Ⅱ）设直线l：y=x+m（m∈R）与椭圆Γ交于不同两点A、B，且|AB|=3$\sqrt{2}$．若点P（x0，2）满足|$\overrightarrow{PA}$|=|$\overrightarrow{PB}$|，求x0的值．
分析 （Ⅰ）根据a，c的值，求出b，从而求出椭圆的方程即可；
（Ⅱ）联立直线和椭圆的方程，根据交点的个数判断m的范围，设AB的中点为E（x0，y0），求出x0=$\frac{{{x}_{1}+x}_{2}}{2}$=-$\frac{3m}{4}$，y0=x0+m=$\frac{m}{4}$，当m=2时，求出直线方程是y=-x-1，求出对应的x的值，当m=-2时，求出直线方程是y=-x+1，求出对应的x的值即可．
解答 解：（Ⅰ）由已知得a=2$\sqrt{3}$，又$c=2\sqrt{2}$
∴b2=a2-c2=4
∴椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{12}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1；
（Ⅱ）由$\left\{\begin{array}{l}{y=x+m}\\{\frac{{x}^{2}}{12}+\frac{{y}^{2}}{4}=1}\end{array}\right.$．得4x2+6mx+3m2-12=0 ①
∵直线l与椭圆交于不同两点A、B，∴△=36m2-16（3m2-12）＞0，
得m2＜16．
设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1，x2是方程①的两根，
则x1+x2=-$\frac{3m}{2}$，${x_1}•{x_2}=\frac{{3{m^2}-12}}{4}$．
∴$|{AB}|=\sqrt{1+{k^2}}|{{x_1}-{x_2}}|=\sqrt{2}×\sqrt{\frac{9}{4}{m^2}-（3{m^2}-12）}=\sqrt{2}×\sqrt{-\frac{3}{4}{m^2}+12}$．
又由$|{AB}|=3\sqrt{2}$，得$-\frac{3}{4}{m^2}+12=9$，解之y=-x+1
据题意知，点P为线段AB的中垂线与直线y=2的交点．
设AB的中点为E（x0，y0），则x0=$\frac{{{x}_{1}+x}_{2}}{2}$=-$\frac{3m}{4}$，y0=x0+m=$\frac{m}{4}$，
?当m=2时，$E（-\frac{3}{2}，\frac{1}{2}）$
∴此时，线段AB的中垂线方程为y-$\frac{1}{2}$=-（x+$\frac{3}{2}$），即y=-x-1，
令y=2，得x0=-3，
?当m=-2时，E（$\frac{3}{2}$，-$\frac{1}{2}$），
∴此时，线段m=1的中垂线方程为y+$\frac{1}{2}$=-（x-$\frac{3}{2}$），即y=-x+1，
令$（0，\frac{1}{2}）$，得x0=-1．
点评 本题考查了求椭圆的方程问题，考查直线和椭圆的位置关系以及韦达定理的应用、中点坐标公式，是一道综合题．
| A． | （cosα，sinα） | B． | （cosα，-sinα） | C． | （sinα，-cosα） | D． | （sinα，cosα） |
已知△ABC中，点D为BC中点，AB=2，AC=4．