Question

15．定义在（0，$\frac{π}{2}$）的函数f（x）=8sinx-tanx的最大值为$3\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 利用导函数研究其单调性，求其最大值．

解答 解：函数f（x）=8sinx-tanx，
那么：f′（x）=8cosx-$\frac{1}{co{s}^{2}x}$=$\frac{8co{s}^{3}x-1}{co{s}^{2}x}$，
令f′（x）=0，
得：cosx=$\frac{1}{2}$
∵x∈（0，$\frac{π}{2}$），
∴x=$\frac{π}{3}$．
当x∈（0，$\frac{π}{3}$）时，f′（x）＞0，函数f（x）在区间（0，$\frac{π}{3}$）上是单调增函数．
当x∈（$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{2}$）时，f′（x）＜0，函数f（x）在区间（$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{2}$）上是单调减函数．
∴当x=$\frac{π}{3}$时，函数f（x）取得最大值为$3\sqrt{3}$
故答案为：$3\sqrt{3}$．

点评 本题考查了利用导函数研究其单调性，求其最大值的问题．属于基础题．