Question

16．已知△ABC中，点D为BC中点，AB=2，AC=4．
（1）若B=$\frac{π}{3}$，求sinA；
（2）若AD=$\sqrt{3}$，求BC．

Answer 1

分析 （1）若B=$\frac{π}{3}$，求出sinC，cosC，即可求sinA；
（2）若AD=$\sqrt{3}$，利用余弦定理建立方程，即可求BC

解答 解：（1）由正弦定理，可得sinC=$\frac{ABsinB}{AC}$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，
∵0＜C＜π，
∴cosC=$\frac{\sqrt{13}}{4}$，
∴sinA=sin（B+C）=$\frac{\sqrt{3}}{2}×\frac{\sqrt{13}}{4}+\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{3}}{4}$=$\frac{\sqrt{39}+\sqrt{3}}{8}$；
（2）设BC=2x，在△ABD中，由余弦定理可得cos∠ADB=$\frac{{x}^{2}-1}{2\sqrt{3}x}$，
△ACD中，由余弦定理可得cos∠ADC=$\frac{{x}^{2}-13}{2\sqrt{3}x}$，
∴$\frac{{x}^{2}-13}{2\sqrt{3}x}$=-$\frac{{x}^{2}-1}{2\sqrt{3}x}$，
∴x=$\sqrt{7}$，
∴BC=2$\sqrt{7}$．

点评 本题考查正弦、余弦定理的运用，考查方程思想，属于中档题．