Question

3．已知圆C与两平行直线 x-y-8=0和x-y+4=0相切，圆心在直线2x+y-10=0上．
（1）求圆C的方程．
（2）过原点O做一条直线，交圆C于M，N两点，求OM*ON的值．

Answer 1

分析 （1）利用待定系数法进行求解即可．
（2）根据切割线定理，求出切线长即可．

解答 解：（1）设所求圆的方程是（x-a）²+（y-b）²=r²．
由题意知，两平行线间距离d=$\frac{|-8-4|}{\sqrt{2}}=\frac{12}{\sqrt{2}}$=6$\sqrt{2}$，
又到两平行直线距离相等的直线方程为：x-y-2=0
所以由$\left\{\begin{array}{l}{2x+y-10=0}\\{x-y-2=0}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=2}\end{array}\right.$．即圆心坐标为（4，2）．
所以圆C的方程为：（x-4）²+（y-2）²=18；
（2）设OT是圆的切线，切点为T，
则OT=$\sqrt{O{C}^{2}-C{T}^{2}}$=$\sqrt{20-18}$=$\sqrt{2}$，
则由切割线定理可得：OM*ON=OT²=2．

点评 本题主要考查圆的方程以及切割线定理的应用，利用待定系数法求出圆的标准方程是解决本题的关键．