Question

18．已知抛物线 y²=2px（p＞0）的焦点为F，过点F的直线l交抛物线于A，B两点，若A（3，y₀）且|AF|=4，则△OAB的面积为（　　）

• A． $\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$
• B． $\frac{{4\sqrt{3}}}{3}$
• C． $\frac{{5\sqrt{3}}}{3}$
• D． $\sqrt{3}$

Answer 1

分析 利用抛物线C：y²=2px（p＞0）上的一点A（3，y₀）且|AF|=4，求出p的值，可得抛物线C的方程．设出直线方程，联立抛物线方程，消去y得到关于x的二次方程，运用韦达定理求出B的坐标，由面积公式求出△OAB的面积．

解答 解：依题意可知|AF|=3+$\frac{p}{2}$=4，∴p=2．故抛物线C的方程为：y²=4x
抛物线y²=4x的准线方程为x=-1，
设B（x₁，y₁），
设直线AB的方程为y=k（x-1），
代入抛物线方程，消去y，得，k²x²-（2k²+4）x+k²=0，
∴3x₁=1，∴x₁=$\frac{1}{3}$，
∴|y₁|=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
又|y₀|=2$\sqrt{3}$
∴△OAB的面积=$\frac{1}{2}$|y₀|×1+$\frac{1}{2}$|y₁|×1=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．
故选：B．

点评 本题考查抛物线的方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．