Question

11．已知△ABC的顶点A（5，1），AB边上的中线CM所在的直线方程为2x-y-5=0，AC边上的高BH所在直线的方程为x-2y-5=0．
（1）求直线BC的方程；
（2）求直线BC关于CM的对称直线方程．

Answer 1

分析 （1）由已知得直线AC的方程为：2x+y-11=0．联立$\left\{\begin{array}{l}{2x+y-11=0}\\{2x-y-5=0}\end{array}\right.$，解得C坐标．设B（a，b），则M$（\frac{a+5}{2}，\frac{b+1}{2}）$．M在直线2x-y-5=0上，可得：$2×\frac{a+5}{2}$-$\frac{b+1}{2}$-5=0，化为：2a-b-1=0．B在直线x-2y-5=0上，可得：a-2b-5=0．联立联立解得B坐标．可得直线BC的方程．
（2）点B关于直线CM对称的点B（x，y）在所求的直线上，由$\left\{\begin{array}{l}{2×\frac{x-1}{2}-\frac{y-3}{2}-5=0}\\{\frac{y+3}{x+1}×2=-1}\end{array}\right.$，解得B即可得出所求直线方程．

解答 解：（1）由已知得直线AC的方程为：2x+y-11=0．
联立$\left\{\begin{array}{l}{2x+y-11=0}\\{2x-y-5=0}\end{array}\right.$，解得C（4，3）．
设B（a，b），则M$（\frac{a+5}{2}，\frac{b+1}{2}）$．
M在直线2x-y-5=0上，可得：$2×\frac{a+5}{2}$-$\frac{b+1}{2}$-5=0，化为：2a-b-1=0．
B在直线x-2y-5=0上，可得：a-2b-5=0．
联立$\left\{\begin{array}{l}{2a-b-1=0}\\{a-2b-5=0}\end{array}\right.$，解得a=-1，b=-3，B（-1，-3）．
于是直线BC的方程为：6x-5y-9=0．
（2）点B关于直线CM对称的点B（x，y）在所求的直线上，
由$\left\{\begin{array}{l}{2×\frac{x-1}{2}-\frac{y-3}{2}-5=0}\\{\frac{y+3}{x+1}×2=-1}\end{array}\right.$，B$（\frac{11}{5}，-\frac{23}{5}）$．
∴直线BC关于CM的对称直线方程为38x-9y-125=0．

点评 本题考查了直线垂直与斜率之间的关系、直线相交与方程组的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．