Question

数列{a_n}的前n项和为S_n，满足S_n=n²+2n．等比数列{b_n}满足：b₁=3，b₄=81．
（1）求证：数列{a_n}为等差数列；
（2）若T_n=

a1

b1

+

a2

b2

+

a3

b3

+…+

an

bn

，求T_n．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：

分析：（1）由S_n=n²+2n，得a₁=S₁=3，an=Sn-Sn-1=(n2+2n)-[(n-1)2+2(n-1)]=2n+1，由此能证明{a_n}为等差数列．
（2）由已知条件求出b_n=3，从而得到

an

bn

=

2n+1

3n

，由此利用错位相减法能求出T_n=

a1

b1

+

a2

b2

+

a3

b3

+…+

an

bn

．

解答： （1）证明：∵数列{a_n}的前n项和为S_n，满足S_n=n²+2n，
∴n=1时，a₁=S₁=1+2=3，…（2分）
n≥2且n∈N^*时，an=Sn-Sn-1=(n2+2n)-[(n-1)2+2(n-1)]=2n+1
经检验a₁亦满足a_n=2n+1，
∴a_n=2n+1（n∈N^*）…（5分）
∴a_n+1-a_n=[2（n+1）+1]-（2n+1）=2为常数
∴{a_n}为等差数列，且通项公式为a_n=2n+1（n∈N^*）…（7分）
（2）解：设等比数列{b_n}的公比为q，则q3=

b4

b1

=27，
∴q=3，则bn=3×3n-1=3n，n∈N^*，
∴

an

bn

=

2n+1

3n

…（9分）
∴Tn=

3

3

+

5

32

+

7

33

+…+

2n+1

3n

，①

1

3

Tn=

3

32

+

5

33

+

7

34

+…+

2n-1

3n

+

2n+1

3n+1

，②
①-②得：

2

3

Tn=1+2(

1

32

+

1

33

+

1

34

…+

1

3n

)-

2n+1

3n+1

=1+2×

1 32 (1- 1 3n-1 )

1- 1 3

-

2n+1

3n+1

=

4

3

-

2n+4

3n+1

…（13分）
∴Tn=2-

n+2

3n

，n∈N*…（15分）

点评：本题考查等差数列的证明，考查数列的前n项和的证明，解题时要认真审题，注意错位相减法的合理运用．