Question

已知直线l₁：x+3y-3m²=0和直线l₂：2x+y-m²-5m=0相交于点P（m∈R）．
（1）用m表示直线l₁与l₂的交点P的坐标；
（2）当m为何值时，点P到直线x+y+3=0的距离最短？并求出最短距离．

Answer 1

考点：点到直线的距离公式,中点坐标公式

专题：直线与圆

分析：（1）解方程组

x+3y-3m2=0 2x+y-m2-5m=0

，能求出直线l₁与l₂的交点P的坐标．
（2）设点P到直线x+y+3=0的距离为d，d=

|3m+m2-m+3|

2

，由此利用配方法能求出点P到直线x+y+3=0的距离最短时的P点坐标和最短距离．

解答： 解：（1）解方程组

x+3y-3m2=0 2x+y-m2-5m=0

，
得x=3m，y=m²-m，
∴直线l₁与l₂的交点P的坐标为（3m，m²-m）．
（2）设点P到直线x+y+3=0的距离为d，
d=

|3m+m2-m+3|

2

=

|m2+2m+3|

2

=

|(m+1)2+2|

2

=

(m+1)2+2

2

，
∴当m=-1时，即P点坐标为（-3，2）时，
点P到直线x+y+3=0的距离最短，最短距离为

2

．

点评：本题考查两直线交点坐标的求法，考查点到直线的最短距离及此时点的坐标的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意配方法的合理运用．