Question

（Ⅰ）已知a是实数，i是虚数单位，

(a-i)(1-i)

i

是纯虚数，求a的值；
（Ⅱ）设z=

7+i

3+4i

，求|z|．

Answer 1

考点：复数求模,复数代数形式的乘除运算

专题：数系的扩充和复数

分析：（Ⅰ）利用两个复数代数形式的乘除法法则的应用，虚数单位i的幂运算性质化简复数，再根据它为纯虚数，可得，∴-a-1=0，且1-a≠0，由此求得a的值．
（Ⅱ）利用两个复数商的模等于被除数的模除以除数的模，计算求得结果．

解答： （Ⅰ）解：∵

(a-i)(1-i)

i

=

a-1-(a+1)i

i

=-a-1+（1-a）i 是纯虚数，∴-a-1=0，且1-a≠0．
求得a=-1．
（Ⅱ）解：∵z=

7+i

3+4i

，∴|z|=

|7+i|

|3+i|

=

50

5

=

2

．

点评：本题主要考查复数的基本概念，两个复数代数形式的乘除法法则的应用，虚数单位i的幂运算性质，复数求模的方法，属于基础题．