Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为

3

2

，短轴长是2．
（1）求a，b的值；
（2）设椭圆C的下顶点为D，过点D作两条互相垂直的直线l₁，l₂，这两条直线与椭圆C的另一个交点分别为M，N．设l₁的斜率为k（k≠0），△DMN的面积为S，当

S

|k|

＞

16

9

时，求k的取值范围．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）根据椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为

3

2

，短轴长是2，结合a²=b²+c²，即可求出a，b的值；
（2）设l₁的方程为y=kx-1，代入

x2

4

+y²=1，求出M的坐标，可得DM，用-

1

k

代k得DN，求出△DMN的面积，可得

S

|k|

=

32(1+k2)

(1+4k2)(4+k2)

，利用

S

|k|

＞

16

9

，可得

32(1+k2)

(1+4k2)(4+k2)

＞

16

9

，从而可求k的取值范围．

解答： 解：（1）设椭圆C的半焦距为c，则由题意得

c a = 3 2 b=1

，
又a²=b²+c²，
联立解得a=2，b=1．                                  …（4分）
（2）由（1）知，椭圆C的方程为

x2

4

+y²=1，所以椭圆C与y轴负半轴交点为D（0，-1）．
因为l₁的斜率存在，所以设l₁的方程为y=kx-1，
代入

x2

4

+y²=1，得M（

8k

1+4k2

，

4k2-1

1+4k2

），
从而DM=

8|k| 1+k2

1+4k2

．  …（6分）
用-

1

k

代k得DN=

8 1+k2

4+k2

．
所以△DMN的面积S=

1

2

?

8|k| 1+k2

1+4k2

×

8 1+k2

4+k2

=

32(1+k2)|k|

(1+4k2)(4+k2)

．                …（8分）
则

S

|k|

=

32(1+k2)

(1+4k2)(4+k2)

，
因为

S

|k|

＞

16

9

，即

32(1+k2)

(1+4k2)(4+k2)

＞

16

9

，
整理得4k⁴-k²-14＜0，解得-

7

4

＜k²＜2
所以0＜k²＜2，即-

2

＜k＜0或0＜k＜

2

．
从而k的取值范围为（-

2

，0）∪（0，

2

）．

点评：本题考查椭圆的方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查三角形面积的计算，考查解不等式，考查学生的计算能力，属于中档题．