Question

给出下列语句：
①函数y=sin(

5π

2

-2x)是偶函数；
②函数y=sin(x+

π

4

)在闭区间[-

π

2

，

π

2

]上是增函数；
③函数y=log_a（x-1）+1（a＞1）的图象必过定点（2，1）
④函数y=3cos（2x-

π

4

）的对称轴方程为x=

kπ

2

+

π

8

，k∈Z；
其中正确的语句的序号是：

 

．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：三角函数的图像与性质,简易逻辑

分析：利用诱导公式化简①，然后判断奇偶性；求出函数y=sin(x+

π

4

)的增区间，判断②的正误；由对数函数恒过定点（1，0），再根据函数平移变换的公式，结合平移向量公式即可判断③的正误；直接利用余弦函数的对称轴方程，令2x-

π

4

=kπ，化简即可判断④的正误；

解答： 解：对于①，函数y=sin(

5π

2

-2x)=cos2x，它是偶函数，正确；
对于②，函数y=sin(x+

π

4

)的单调增区间是[-

3π

4

+2kπ，

π

4

+2kπ]，k∈Z，在闭区间[-

π

2

，

π

2

]上是增函数，不正确；
对于③，由函数图象的平移公式，可得：将函数y=log_ax（a＞0，a≠1）的图象向右平移一个单位，再向上平移1个单位，即可得到函数y=log_a（x-1）+1（a＞0，a≠1）的图象．
又∵函数y=log_ax（a＞0，a≠1）的图象恒过（1，0）点，
由平移向量公式，易得函数y=log_a（x-1）+1（a＞0，a≠1）的图象恒过（2，1）点，∴③正确．
对于④，函数y=3cos（2x-

π

4

），令2x-

π

4

=kπ，可得x=

kπ

2

+

π

8

（k∈Z），∴④正确；
故答案为：①③④．

点评：本题考查函数的性质的综合应用，奇偶性、单调性、对称轴、图象的平移，掌握基本函数的基本性质，对数函数的单调性与特殊点，函数y=log_a（x+m）+n（a＞0，a≠1）的图象恒过（1-m，n）点；函数y=a^x+m+n（a＞0，a≠1）的图象恒过（-m，1+n）点．