Question

已知定义在R上的函数y=f（x）是奇函数，且x＞0时，f（x）=ln（x²+2x+2）；
（1）求f（x）的解析式；
（2）若方程f（x）-m=0无解，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质,根的存在性及根的个数判断

专题：函数的性质及应用

分析：（1）利用奇函数的性质即可得出；
（2）利用对数函数的单调性可得函数f（x）的值域，进而得出m的取值范围．

解答： 解：（1）设x＜0，则-x＞0，
∵x＞0时，f（x）=ln（x²+2x+2）；
∴f（-x）=ln（x²-2x+2），
又定义在R上的函数y=f（x）是奇函数，
∴f（x）=-f（-x）=-ln（x²-2x+2），f（0）=0．
∴f（x）=

ln(x2+2x+2)，x＞0 0，x=0 -ln(x2-2x+2)，x＜0

．
（2）由（1）可得：x＞0时，f（x）=ln[（x+1）²+1]＞ln2．
x=0时，f（0）=0．
x＜0时，f（x）=-ln[（x-1）²+1]＜-ln2．
∴函数f（x）的值域为（-∞，-ln2）∪{0}∪（ln2，+∞）．
∵方程f（x）-m=0无解，
∴实数m的取值范围是[-ln2，0）∪（0，ln2]．

点评：本题考查了函数的奇偶性、对数函数的单调性、二次函数的单调性，考查了数形结合的思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．