Question

对于数集X={-1，x₁，x₂，…x}，其中0＜x₁＜x₂＜…＜x_n，n≥2，定义向量集Y={

a

|

a

=（s，t），s∈X，t∈X}，若对任意

a1

∈Y，存在

a2

∈Y，使得

a1

•

a2

=0，则称X具有性质P．
（Ⅰ）判断{-1，1，2}是否具有性质P；
（Ⅱ）若x＞2，且{-1，1，2，x}具有性质P，求x的值；
（Ⅲ）若X具有性质P，求证：1∈，且当x_n＞1时，x₁=1．

Answer 1

考点：集合的表示法,元素与集合关系的判断

专题：集合

分析：（Ⅰ）根据新定义直接判断即可．
（Ⅱ）在Y中取

a1

=（x，2），根据数量积的坐标公式，可得Y中与

a1

垂直的元素必有形式（-1，b），所以x=2b，结合x＞2，可得x的值．
（Ⅲ）取

a1

=（x₁，x₁），

a2

=（s，t）根据

a1

•

a2

=0，化简可得s+t=0，所以s、t异号．而-1是数集X中唯一的负数，所以s、t中的负数必为-1，另一个数是1，从而证出1∈X，最后通过反证法，可以证明出当x_n＞1时，x₁=1．

解答： 解：（Ⅰ）{-1，1，2}具有性质P．
（Ⅱ）选取

a1

=（x，2），Y中与

a1

垂直的元素必有形式（-1，b）．
所以x=2b，从而x=4；                                       
（ III）证明：取

a1

=（x₁，x₁）∈Y，．设

a2

=（s，t）∈∈Y满足

a1

•

a2

=0．
由（s+t）x₁=0得s+t=0，所以s、t异号．
因为-1是X中唯一的负数，所以s、t中之一为-1，另一为1，
故1∈X．
假设x_k=1，其中1＜k＜n，则0＜x₁＜1＜x_n．
选取

b1

=（x₁，x_n），并设

b2

=（p，q）满足

b1

•

b2

=0，
即px₁+qx_n=0，则p，q异号，从而p，q之中恰有一个为-1．
若p=-1，则x₁=qx_n，显然矛盾；
若q=-1，则x_n=px₁＜p≤x_n，矛盾．
所以x₁=1．

点评：本题以向量的数量积的坐标运算为载体，着重考查了集合元素的性质与向量的综合等知识点，本题是一道综合题，请同学们注意解题过程中的转化化归思想、分类讨论的方法和反证法的运用．