题目内容

1．已知在平面直角坐标系xoy中，直线l的参数方程是$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{2}}{2}t+4\sqrt{2}}\end{array}\right.$（t是参数），以原点O 为极点，O x为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为$ρ=2cos（θ+\frac{π}{4}）$．
（1）求直线l的普通方程和圆心C 的直角坐标；
（2）由直线l上的点向圆C引切线，求切线长的最小值．

分析 （1）利用三种方程的互化方法，即可求直线l的普通方程和圆心C 的直角坐标；
（2）圆C的半径r=1，求出圆心到直线的距离，即可求切线长的最小值．

解答 解：（1）直线l的普通方程为$y=x+4\sqrt{2}$；
又$ρ=2cos（θ+\frac{π}{4}）$，${ρ^2}=\sqrt{2}ρcosθ-\sqrt{2}ρsinθ$
∴圆C的普通方程为${x^2}+{y^2}=\sqrt{2}x-\sqrt{2}y$，即${x^2}+{y^2}-\sqrt{2}x+\sqrt{2}y=0$
圆心C的直角坐标为 $（\frac{{\sqrt{2}}}{2}，-\frac{{\sqrt{2}}}{2}）$；
（2）圆C的半径r=1，圆心到直线的距离$d=\frac{{|\frac{{\sqrt{2}}}{2}+\frac{{\sqrt{2}}}{2}+4\sqrt{2}|}}{{\sqrt{2}}}=5$
∴切线长的最小值为$\sqrt{{d^2}-{r^2}}=\sqrt{{5^2}-{1^2}}=\sqrt{6×4}=2\sqrt{6}$．

点评 本题考查三种方程的互化，考查直线与圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．

练习册系列答案
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