Question

9．△ABC的三边AB、BC、CA所在的直线方程分别是5x-y-12=0，x+3y+4=0，x-5y+12=0．求：
（1）经过点C且到原点的距离为7的直线方程；
（2）BC边上的高所在的直线方程．

Answer 1

分析 （1）求出C的坐标，分类讨论，即可求出直线方程；
（2）首先求出BC边上的高所在直线的斜率，然后联立直线求出A点的坐标，再由点斜式求出直线方程．

解答 解：（1）由$\left\{\begin{array}{l}{x+3y+4=0}\\{x-5y+12=0}\end{array}\right.$得C（-7，1），
斜率存在时，设方程为y-1=k（x+7），原点到直线的距离d=$\frac{|-1-7k|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=7，∴k=$\frac{24}{7}$，方程为24x-7y+175=0；
斜率不存在时，x=-7满足条件，
综上所述，直线方程为x=-7或24x-7y+175=0；
（2）设BC边上的高所在的直线的斜率为k，
∵BC边上的高所在的直线与直线BC垂直
∴k=3
∵$\left\{\begin{array}{l}{5x-y-12=0}\\{x-5y+12=0}\end{array}\right.$，∴点A的坐标为A（3，3）
代A（3，3）入点斜式方程得3x-y-6=0．

点评 本题考查了相互垂直的直线斜率之间的关系、点到直线的距离公式，属于中档题．