Question

已知函数f（x）=log₂（4^x+a），g（x）=x，设h（x）=f（x）-g（x）
（Ⅰ）若h（x）是偶函数，求a的值；
（Ⅱ）若关于x的方程h（x）=0有解，求a的取值范围．

Answer 1

考点：对数函数图象与性质的综合应用,函数奇偶性的判断

专题：函数的性质及应用

分析：（Ⅰ）根据h（x）是偶函数，得到h（-x）=h（x）成立，建立方程关系即可求a的值；
（Ⅱ）根据h（x）=0，将对数方程转化为指数方程，利用换元法，转化为二次函数，

解答： 解：（I）∵f（x）=log₂（4^x+a），g（x）=x，
∴h（x）=f（x）-g（x）=log₂（4^x+a）-x，
∵h（x）是偶函数
∴h（-x）=h（x）成立，
即log₂（4^-x+a）+x=log₂（4^x+a）-x，恒成立，
整理得log₂

4x+a

4-x+a

=2x，
∴4^x+a=（4^-x+a）•4^x=1+a•4^x，
即a=1．
（II）由题意得：关于x的方程h（x）=0有解，
即log₂（4^x+a）=x有解，
即4^x+a=2^x有解，令2^x=t，t＞0，
∴a=-t²+t=-（t-

1

2

）²+

1

4

≤

1

4

，
即a的取值范围为（-∞，

1

4

]．

点评：本题主要考查函数奇偶性的应用，以及指数函数和对数函数的图象和性质，要求熟练掌握指数函数和对数函数的基本运算．