Question

已知正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=2，AA₁=

6

．点F，E分别是边A₁C₁和侧棱BB₁的中点．
（1）证明：AC⊥平面BEF；
（2）求三棱锥F-AEC的体积．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）根据线面垂直的判定定理即可证明AC⊥平面BEF；
（2）根据三棱锥的条件公式，即可求三棱锥F-AEC的体积．

解答： 证明：（1）取AC的中点G，连接FG，BG，则有EB∥C₁C∥FG，
∴平面BEF与平面EBGF共面，
∴FG⊥AC，而在正三角形ABC中，G是AC的中点，∴BG⊥AC，
又FG∩BG=G，∴AC⊥平面EBGF，即AC⊥平面BEF．
（2）设点E到平面FAC的距离为h，点B到平面FAC的距离为d，
由EB∥FG，得EB∥平面FAC，∴d=h，
又平面A₁ACC₁⊥平面ABC，BG⊥AC，∴BG⊥平面FAC，
在正三角形ABC中，AB=2，∴BG=

3

，即h=

3

，
∵S_△FAB=

1

2

FG•AC=

6

∴V_F-AEC=V_E-FAC=

1

3

h=

1

3

×

6

×

3

=

2

．

点评：本题主要考查线面垂直的判断以及三棱锥的体积的计算，要求熟练掌握空间线面垂直的判定定理和三棱锥的体积公式．