Question

已知x＞a＞0，求证：x³+13a²x＞5ax²+9a³．

Answer 1

考点：不等式的证明,导数在最大值、最小值问题中的应用

专题：证明题,不等式的解法及应用

分析：方法一：构造函数f（x）=x³-5ax²+13a²x-9a³（x＞0），求出导数，判断函数f（x）的单调性，运用单调性证明；
方法二：运用作差法证明，运用因式分解，将9a³拆成a³+13a³-5a³，提取公因式x-a，对括号里的化简配方，证到大于0即可．

解答： 证法一：（函数单调性法）
设f（x）=x³-5ax²+13a²x-9a³（x＞0），
则导数f'（x）=3x²-10ax+13a²，
=3（x-

5

3

a）²+

14

3

a²，
即对x＞a＞0时，f'（x）＞0，
∴f（x）在x＞0上是增函数，
∵x＞a＞0，∴f（x）＞f（a），
∵f（a）=a³-5a³+13a³-9a³=0，
∴f（x）＞0，原不等式成立．
证法二：（作差比较法）
∵x³+13a²x-5ax²-9a³=（x³-a³）+（13a²x-13a³）+（5a³-5ax²）
=（x-a）（x²+ax+a²）+13a²（x-a）-5a（x-a）（x+a）
=（x-a）[x²+ax+a²+13a²-5a（x+a）]
=（x-a）（x²-4ax+9a²）
=（x-a）[（x-2a）²+5a²]，
又x＞a＞0，∴x-a＞0，（x-2a）²+5a²＞0，
∴x³+13a²x-5ax²-9a³＞0，
∴x³+13a²x＞5ax²+9a³．

点评：本题考查不等式的证明方法，作差法证明是最基本的方法，运用函数的单调性证明往往简洁，但有时往往要运用导数这一重要工具，应认真领会．