Question

已知椭圆C₁：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）和椭圆C₂：x²+y²=r²都过点（0，-1），且椭圆C₁的离心率为

3

2

．
（Ⅰ） 求椭圆C₁和C₂的方程；
（Ⅱ） 如图，A，B分别为椭圆C₁的左右顶点，P（x₀，y₀）为圆C₂上的动点．过点P作圆C₂的切线l，交椭圆C₁与不同的两点C，D，且l与x轴的交点为M，直线AC与直线DB的交点为N．
（i） 求切线l的方程；
（ii） 问点M，N的横坐标之积是否为定值？若是定值，求出此定值；若不是定值，请说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ） 由题意，b=1，a=2，r=1，即可求椭圆C₁和C₂的方程；
（Ⅱ）（i）分类讨论，可得切线l的方程；
（ii） 由x₀x+y₀y=1，令y=0可得M的横坐标为x_M=

1

x0

，再求出x_N=

4x0x1x2-4x0(x1-x2)-2(x1+x2)

2x0(x1+x2)-(x1-x2)-4

=4x₀，即可得出结论．

解答： 解：（Ⅰ）由题意，b=1，a=2，r=1，
∴椭圆C₁的方程为

x2

4

+y2=1；C₂的方程为x²+y²=1；
（Ⅱ）（i） 显然x₀≠0
①若y₀=0，则切线l的方程为x=x₀；
②若y₀≠0，则切线l的方程为y-y₀=-

x0

y0

（x-x₀），即x₀x+y₀y=x₀²+y₀²，即x₀x+y₀y=1
由①②可知，切线l的方程为x₀x+y₀y=1；
（ii）由x₀x+y₀y=1，令y=0可得M的横坐标为x_M=

1

x0

，
x₀x+y₀y=1代入椭圆可得（y02+4x02）x²-8x₀x+4-4y02=0，
设C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），则
x₁+x₂=

8x0

y02+4x02

，x₁x₂=

4-4y02

y02+4x02

，
又直线AC的方程为y=

y1

x1+2

(x+2)，直线BD的方程为y=

y2

x2-2

(x-2)
∴y₁（x₂-2）（x+2）=y₁（x₁+2）（x-2），
即（1-x₀x₁）（x₂-2）（x+2）=（1-x₀x₂）（x₁+2）（x-2），
∴x_N=

4x0x1x2-4x0(x1-x2)-2(x1+x2)

2x0(x1+x2)-(x1-x2)-4

=4x₀，
∴x_Mx_N=4．
∴M，N的横坐标之积为定值4．

点评：本题考查椭圆方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，难度大．