Question

设函数f（x）=lnx-x²+ax（a∈R）．
（Ⅰ） 求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ） 已知A（x₁，f（x₁）），B（x₂，f（x₂））（x₁≠x₂）是函数f（x）在x∈[1，+∞）的图象上的任意两点，且满足

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＜2，求a的最大值；
（Ⅲ） 设g（x）=xe^1-x，若对于任意给定的x₀∈（0，e]，方程f（x）+1=g（x₀）在（0，e]内有两个不同的实数根，求a的取值范围．（其中e是自然对数的底数）

Answer 1

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用

专题：导数的概念及应用,导数的综合应用

分析：（1）直接对原函数求导，令导数大于0，解得增区间，令导数小于0，解得减区间；
（2）因为是不等式恒成立，因此将原式转化为函数的最值问题，通过变形构造出函数φ（x）=f（x）-2x，通过研究该函数的单调性，进而转化为该函数的导数小于等于0恒成立，最终使问题获得解答；
（3）其实还是要数形结合，两个函数构造的方程在某一区间上有两个根，即它们的图象有两个公共点，结合单调性进行分析，容易使问题获得解答．

解答： 解：（Ⅰ） f′(x)=

1

x

-2x+a=

-2x2+ax+1

x

，
由f'（x）=0，得-2x²+ax+1=0，该方程的判别式△=a²+8＞0，
可知方程-2x²+ax+1=0有两个实数根

a± a2+8

4

，又x＞0，故取x=

a+ a2+8

4

，
当x∈(0，

a+ a2+8

4

)时，f'（x）＞0，函数f（x）单调递增；当x∈(

a+ a2+8

4

，+∞)时，f'（x）＜0，函数f（x）单调递减．
则函数f（x）的单调递增区间是(0，

a+ a2+8

4

)；递减区间是(

a+ a2+8

4

，+∞)．
（Ⅱ）不妨设x₁＞x₂≥1，不等式

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＜2转化为f（x₁）-2x₁＜f（x₂）-2x₂，
令φ（x）=f（x）-2x，可知函数φ（x）在区间[1，+∞）上单调递减，故φ'（x）=f'（x）-2≤0恒成立，
故

1

x

-2x+a-2≤0恒成立，即a≤2x-

1

x

+2恒成立．
当x∈[1，+∞）时，函数y=2x-

1

x

+2单调递增，故当x=1时，函数y=2x-

1

x

+2取得最小值3，则实数a的取值范围是a≤3，则实数a的最大值为3．
（Ⅲ）g'（x）=（1-x）e^1-x，当x∈（0，1）时，g'（x）＞0，g（x）是增函数；当x∈（1，e）时，g'（x）＜0，g（x）是减函数．可得函数g（x）在区间（0，e]的值域为（0，1]．
令F（x）=f（x）+1，则F′(x)=f′(x)=

-2x2+ax+1

x

，
由F'（x）=0，结合（Ⅰ）可知，方程F'（x）=0在（0，∞）上有一个实数根x₃，若x₃≥e，则F（x）在（0，e]上单调递增，不合题意，
可知F'（x）=0在（0，e]有唯一的解x3=

a+ a2+8

4

，且F（x）在(0，

a+ a2+8

4

)上单调递增；在(

a+ a2+8

4

，+∞)上单调递减．
因为?x₀∈（0，e]，方程f（x）+1=g（x₀）在（0，e]内有两个不同的实数根，所以F（e）≤0，且F（x）_max＞1．
由F（e）≤0，即lne-e²+ae+1≤0，解得a≤e-

2

e

．
由F（x）_max=f（x₃）+1＞1，即lnx3-

x

2 3

+ax3+1＞1，lnx3-

x

2 3

+ax3＞0，
因为-2

x

2 3

+ax3+1=0，所以a=2x3-

1

x3

，代入lnx3-

x

2 3

+ax3＞0，得lnx3+

x

2 3

-1＞0，
令h（x）=lnx+x²-1，可知函数h（x）在（0，e]上单调递增，而h（1）=0，则h（x₃）＞h（1）=0，
所以1＜x₃＜e，而a=2x3-

1

x3

在1＜x₃＜e时单调递增，可得1＜a＜2e-

1

e

，
综上所述，实数a的取值范围是(1，e-

2

e

]．

点评：本题综合考查了利用导数研究函数的单调性、零点的存在性问题以及不等式的恒成立问题，属于压轴题，要仔细体会其解题思想．