Question

已知数列{a_n}、{b_n}，其中，a₁=

1

2

，数列{a_n}的前n项和S_n=n²a_n（n∈N^*），数列{b_n}满足b₁=2，b_n+1=2b_n．
（1）求数列{a_n}、{b_n}的通项公式；
（2）是否存在自然数m，使得对于任意n∈N^*，n≥2，有1+

1

b1

+

1

b2

+…+

1

bn

＜

m-8

4

恒成立？若存在，求出m的最小值；
（3）若数列{c_n}满足c_n=

1 nan ，n为奇数 bn，n为偶数

，求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合

专题：综合题,不等式的解法及应用

分析：（1）根据题设条件用累乘法能够求出数列{a_n}的通项公式．b₁=2，b_n+1=2b_n可知{b_n}是首项为2，公比为2的等比数列，由此能求出{b_n}的通项公式．
（2）b_n=2ⁿ．假设存在自然数m，使得对于任意n∈N^*，n≥2，有1+

1

b1

+

1

b2

+…+

1

bn

＜

m-8

4

恒成立，由此能导出m的最小值．
（3）当n是奇数时，Tn=(

1

a1

+

1

3a3

+…+

1

nan

)+(b2+b4+…+bn-1)，当n是偶数时，Tn=[

1

a1

+

1

3a3

+…+

1

(n-1)an-1

]+(b2+b4+…+bn)，由此能推导出当n是偶数时，求数列{c_n}的前n项和T_n．

解答： 解：（1）因为Sn=n2an(n∈N*)．
当n≥2时，Sn-1=(n-1)2an-1，
所以an=Sn-Sn-1=n2an-(n-1)2an-1
所以（n+1）a_n=（n-1）a_n-1，即

an

an-1

=

n-1

n+1

． …2分
又a1=

1

2

，
所以an=

an

an-1

•

an-1

an-2

•

an-2

an-3

…

a3

a2

•

a2

a1

•a1=

n-1

n+1

•

n-2

n

•

n-3

n-1

•…•

2

4

•

1

3

•

1

2

=

1

n(n+1)

．…4分
当n=1时，上式成立，
因为b₁=2，b_n+1=2b_n，所以{b_n}是首项为2，公比为2的等比数列，
故bn=2n．…6分
（2）由（1）知bn=2n，则1+

1

b1

+

1

b2

+…+

1

bn

=1+

1

2

+

1

22

+…+

1

2n

=2-

1

2n

．
假设存在自然数m，使得对于任意n∈N^*，n≥2，有1+

1

b1

+

1

b2

+…+

1

bn

＜

m-8

4

恒成立，即2-

1

2n

＜

m-8

4

恒成立，由

m-8

4

≥2，解得m≥16．…9分
所以存在自然数m，使得对于任意n∈N^*，n≥2，有1+

1

b1

+

1

b2

+…+

1

bn

＜

m-8

4

恒成立，
此时，m的最小值为16．…11分
（3）当n为奇数时，Tn=(

1

a1

+

1

3a3

+…+

1

nan

)+(b2+b4+…+bn-1)
=[2+4+…+（n+1）]+（2²+2⁴+…+2^n-1）=

2+n+1

2

•

n+1

2

+

4(1-4 n-1 2 )

1-4

=

n2+4n+3

4

+

4

3

(2n-1-1)；…13分
当n为偶数时，Tn=[

1

a1

+

1

3a3

+…+

1

(n-1)an-1

]+(b2+b4+…+bn)=（2+4+…+n）+（2²+2⁴+…+2ⁿ）
=

2+n

2

•

n

2

+

4(1-4 n 2 )

1-4

=

n2+2n

4

+

4

3

(2n-1)．…15分
因此Tn=

n2+4n+3 4 + 4 3 (2n-1-1)，n为奇数 n2+2n 4 + 4 3 (2n-1)，n为偶数

． …16分．

点评：本题是考查数列知识的综合运用题，难度较大，在解题时要认真审题，仔细作答．