Question

已知f（x）=2sin（-2x+

π

6

）．
（1）求f（x）的单调递增区间；
（2）若x∈[-

π

6

，

π

2

]，求f（x）的值域；
（3）求f（x）的最小正周期．

Answer 1

考点：正弦函数的单调性,三角函数的周期性及其求法,正弦函数的定义域和值域

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）先解得f（x）=2sin（-2x+

π

6

）=-2sin（2x-

π

6

），令 2kπ+

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

3π

2

，k∈z，解得 kπ+

π

3

≤x≤kπ+

5π

6

，故f（x）的单调递增区间是：[kπ+

π

3

，kπ+

5π

6

]，k∈z．
（2）若x∈[-

π

6

，

π

2

]，解得2x-

π

6

∈[-

π

2

，

5π

6

]，从而有f（x）_max=f（-

π

6

）=-2sin（-

π

2

）=2，f（x）_min=f（

π

3

）=-2sin

π

2

=-2．
（3）由T=

2π

ω

=

2π

2

=π，可求得f（x）的最小正周期是π．

解答： 解：（1）f（x）=2sin（-2x+

π

6

）=-2sin（2x-

π

6

）．
令 2kπ+

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

3π

2

，k∈z，解得 kπ+

π

3

≤x≤kπ+

5π

6

，
故函数y=2sin（2x-

π

6

）的单调递增区间是[kπ+

π

3

，kπ+

5π

6

]，k∈z，
故f（x）的单调递增区间是：[kπ+

π

3

，kπ+

5π

6

]，k∈z．
（2）若x∈[-

π

6

，

π

2

]，则2x-

π

6

∈[-

π

2

，

5π

6

]，
故f（x）_max=f（-

π

6

）=-2sin（-

π

2

）=2，f（x）_min=f（

π

3

）=-2sin

π

2

=-2．
故f（x）的值域为[-2，2]．
（3）由T=

2π

ω

=

2π

2

=π，故f（x）的最小正周期是π．

点评：题主要考查复合三角函数的单调性，正弦函数的单调性，三角函数的周期性及其求法，属于中档题．