Question

4．若椭圆$\frac{x^2}{3}+\frac{y^2}{m}=1$与直线x+2y-2=0有两个不同的交点，则m的取值范围是（$\frac{1}{4}$，3）∪（3，+∞）．

Answer 1

分析 由题意可知：将直线代入椭圆方程，由$\left\{\begin{array}{l}{m≠3}\\{m＞0}\\{△＞0}\end{array}\right.$，即可求得m的取值范围．

解答 解：由椭圆$\frac{x^2}{3}+\frac{y^2}{m}=1$与直线x+2y-2=0联立，即$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{3}+\frac{{y}^{2}}{m}=1}\\{x+2y-2=0}\end{array}\right.$，
消去x，并整理得（3+4m）y²-8my+m=0．
根据条件椭圆与直线x+2y-2=0有两个不同的交点，
∴$\left\{\begin{array}{l}{m≠3}\\{m＞0}\\{△=64{m}^{2}-4m（4m+3）＞0}\end{array}\right.$，
解得：$\frac{1}{4}$＜m＜3，或m＞3．
∴m的取值范围（$\frac{1}{4}$，3）∪（3，+∞），
故答案为：（$\frac{1}{4}$，3）∪（3，+∞）．

点评 本题考查直线与椭圆的位置关系，考查椭圆的性质，考查计算能力，属于中档题．