Question

14．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosα}\\{y=\sqrt{3}sinα}\end{array}\right.$ （α为参数），在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴的正半轴为极轴）中，直线l的方程为ρ（cosθ-sinθ）+1=0
（1）写出曲线C的和直线l的普通方程；
（2）若l与x轴的交点为P，与曲线C的交点为A，B，求|PA|•|PB|的值．

Answer 1

分析 （1）根据同角三角函数的关系消元得出曲线C的普通方程，根据极坐标与直角坐标的对应关系得出直线l的普通方程；
（2）将直线的参数方程代入曲线C的普通方程，利用根与系数的关系和参数的几何意义得出．

解答 解：（1）∵$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosα}\\{y=\sqrt{3}sinα}\end{array}\right.$，∴cosα=$\frac{x}{2}$，sinα=$\frac{y}{\sqrt{3}}$，
∴曲线C的普通方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$．
∵ρ（cosθ-sinθ）+1=0，即ρcosθ-ρsinθ+1=0，
∴直线l的普通方程为x-y+1=0．
（2）直线l的斜率为1，倾斜角为45°，直线l与x轴交于点P（-1，0），
∴直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=-1+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数），
将直线l的参数方程代入曲线C的普通方程得7t²-6$\sqrt{2}t$-18=0，
∴|PA|•|PB|=|t₁t₂|=$\frac{18}{7}$．

点评 本题考查了参数方程，极坐标方程与普通方程的转化，直线参数方程的几何意义，属于中档题．