Question

已知直线y=-x+1与椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）相交于A、B两点，若椭圆的离心率为

2

2

，焦距为2，则线段AB的长是（　　）

• A、

  2

  3

  2

• B、

  4

  3

  2

• C、

  2

• D、2

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：求出椭圆的方程为

x2

2

+y²=1，联立

x2 2 +y2=1 y=-x+1

得出A（0，1），B（

4

3

，-

1

3

），即可得出两点距离．

解答： 解：e=

3

2

，2c=2，c=1
∴a=

2

，c=1，
则b=

a2-c2

=1，
∴椭圆的方程为

x2

2

+y²=1，
联立

x2 2 +y2=1 y=-x+1

化简得：3x 2 -4x=0，x=0，或x=

4

3

，
代入直线得出y=1，或y=-

1

3

则A（0，1），B（

4

3

，-

1

3

）
∴|AB|=

4 2

3

，
故选：B

点评：本题考查了直线与椭圆的位置关系，联立方程组求解出点的坐标，运用距离公式，属于中档题．