Question

1．已知f（x）=|x|（x²-3t）（t∈R）．
（1）当t=1时，求f（x）的单调递增区间；
（2）设g（x）=|f（x）|（x∈[0，2]），求g（x）的最大值F（t）．

Answer 1

分析 （1）将f（x）写成分段函数式，分别求出当x≥0时，当x＜0时，f（x）的导数，由导数大于0，可得增区间；
（2）求出x∈[0，2]时的f（x）的解析式，求出导数，对t讨论，分t≤0时，t≥4，0＜t＜$\frac{4}{3}$，$\frac{4}{3}$≤t≤4，结合单调性，可得最大值．

解答 解：（1）f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{3}-3x，x≥0}\\{3x-{x}^{3}，x＜0}\end{array}\right.$，
∴当x≥0时，f′（x）=3x²-3，由f′（x）≥0，可得x≥1；
当x＜0时，f′（x）=3-3x²，由f′（x）≥0，可得-1≤x＜0．
∴f（x）的递增区间为[-1，0），[1，+∞）．
（2）x∈[0，2]时，f（x）=x³-3xt，f′（x）=3（x²-t），
当t≤0时，f′（x）≥0，f（x）在[0，2]递增；
∵$f（0）=0，\end{array}$∴g（x）_max=f（2）=8-6t；
当t＞0时，令f′（x）=0，取x=$\sqrt{t}$，
若$\sqrt{t}$≥2，即t≥4，f（x）在[0，2]递减，
∵$f（0）=0，\end{array}$∴g（x）_max=-f（2）=6t-8；
$若\sqrt{t}＜2，即0＜t＜4$，∵$令f（x）=0，x=\sqrt{3t}$
①$当\sqrt{3t}≥2，即\frac{4}{3}≤t≤4，g{（x）_{max}}=-f（\sqrt{t}）=2t\sqrt{t}$，
②$当\sqrt{3t}＜2，即0＜t＜\frac{4}{3}，g{（x）_{max}}=max\left\{{-f（\sqrt{t}），f（2）}\right\}$
=$\left\{\begin{array}{l}2t\sqrt{t}，1＜t＜\frac{4}{3}\\ 8-6t，0＜t≤1\end{array}\right.$．
综上所述，$F（t）=g{（x）_{max}}=\left\{\begin{array}{l}8-6t，t≤1\\ 2t\sqrt{t}，1＜t＜4\\ 6t-8，t≥4\end{array}\right.$．

点评 本题考查分段函数的运用，考查分类讨论思想方法，以及函数的最值的求法，运算求解能力，属于中档题．