Question

20．如图所示，点O为正方体ABCD  A′B′C′D′的中心，点E为棱B′B的中点，若AB=1，则下面说法正确的是（　　）

• A． 直线AC与直线EC′所成角为45°
• B． 点E到平面OCD′的距离为$\frac{1}{2}$
• C． 四面体O  EA′B′在平面ABCD上的射影是面积为$\frac{1}{6}$的三角形
• D． 过点O，E，C的平面截正方体所得截面的面积为$\frac{\sqrt{6}}{2}$

Answer 1

分析 分别计算各选项的问题，得出结论．

解答 解：对于A，连结A′C′，A′E，C′E，则A′C′∥AC，

∴∠A′C′E为直线AC与直线EC′所成角，
在△A′C′E中，A′C′=$\sqrt{2}$，A′E=C′E=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
∴cos∠A′C′E=$\frac{2+\frac{5}{4}-\frac{5}{4}}{2×\sqrt{2}×\frac{\sqrt{5}}{2}}$=$\frac{\sqrt{10}}{5}$，
∴直线AC与直线EC′所成角的余弦值为$\frac{\sqrt{10}}{5}$，故A错误；
对于B，连结CD′，A′B，则O∈平面BCD′A′，

∴B′到平面BCD′A′的距离为$\frac{1}{2}$AB′=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴E到平面BCD′A′的距离为$\frac{\sqrt{2}}{4}$，故B错误；
对于C，O在底面ABCD的射影为正方形ABCD的中心，A′的射影为A，B′和E在底面的射影为B，

∴四面体O  EA′B′在平面ABCD上的射影是面积为$\frac{1}{4}$的三角形，故C错误；
对于D，取DD′中点F，连结A′E，A′F，CE，CF，则菱形CEA′F是过O，C，E的平面与正方体的截面，

∵EF=$\sqrt{2}$，A′C=$\sqrt{3}$，∴截面面积S=$\frac{1}{2}×\sqrt{2}×\sqrt{3}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$．故D正确．
故选D．

点评 本题考查了正方体的结构特征，属于中档题．