Question

15．三棱锥P-ABC的三条侧棱两两垂直，且PA=PB=PC=1，则其外接球上的点到平面ABC的距离的最大值为（　　）

• A． $\frac{{\sqrt{3}}}{2}$
• B． $\frac{{\sqrt{3}}}{6}$
• C． $\frac{{\sqrt{3}}}{3}$
• D． $\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$

Answer 1

分析 将PA、PB、PC可看作是正方体的一个顶点发出的三条棱，所以过空间四个点P、A、B、C的球面即为的正方体的外接球，球的直径即是正方体的对角线，求出对角线长，即为球的直径，而球心O到平面ABC的距离为体对角线的$\frac{1}{6}$，然后求解结果即可．

解答 解：空间四个点P、A、B、C在同一球面上，PA、PB、PC两两垂直，且PA=PB=PC=1，
则PA、PB、PC可看作是正方体的一个顶点发出的三条棱，
所以过空间四个点P、A、B、C的球面即为的正方体的外接球，球的直径即是正方体的对角线，长为$\sqrt{3}$，
球心O到平面ABC的距离为体对角线的$\frac{1}{6}$，即球心O到平面ABC的距离为$\frac{\sqrt{3}}{6}$．
其外接球上的点到平面ABC的距离的最大值为：$\frac{\sqrt{3}}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{6}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
故选：D．

点评 本题是基础题，考查球的内接体知识，O到面ABC的距离的求法，考查空间想象能力，计算能力，分析出正方体的对角线就是球的直径是解好本题的关键所在．