Question

8．已知函数f（x）=x²，g（x）=x-1．
（1）若存在x∈R，使f（x）＜b•g（x），求实数b的取值范围；
（2）设F（x）=f（x）-mg（x）+1-m，若F（x）≥0在区间[2，5]上恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）存在x∈R，使f（x）＜b•g（x），即存在x∈R，x²-bx+b＜0，则△＞0，即b²-4b＞0，
即可得到b的取值范围．
（2）由题意可知x²-mx+1≥0在区间[2，5]上恒成立，
即$m≤x+\frac{1}{x}$在区间[2，5]上恒成立，求出$y=x+\frac{1}{x}$得最小值即可，

解答 解：（1）存在x∈R，使f（x）＜b•g（x），即存在x∈R，x²-bx+b＜0，
则△＞0，即b²-4b＞0，
所以b的取值范围为（-∞，0）∪（4，+∞）；
（2）由题意可知x²-mx+1≥0在区间[2，5]上恒成立，
即$m≤x+\frac{1}{x}$在区间[2，5]上恒成立，
由于$y=x+\frac{1}{x}$在[2，5]上单调递增，所以当x=2时，$y=x+\frac{1}{x}$有最小值$\frac{5}{2}$，
所以$m≤\frac{5}{2}$．即 实数m的取值范围为（-$∞，\frac{5}{2}$]．

点评 本题考查了二次函数的性质，分离参数法求参数的范围，属于中档题．