Question

11．已知f（x）=x²+3x，若|x-a|≤1，则下列不等式一定成立的是（　　）

• A． |f（x）-f（a）|≤3|a|+3
• B． |f（x）-f（a）|≤2|a|+4
• C． |f（x）-f（a）|≤|a|+5
• D． |f（x）-f（a）|≤2（|a|+1）²

Answer 1

分析 结合二次函数的图象可知，当f（x）在区间[a-1，a+1]单调时，|f（x）-f（a）|的最大值为|f（a+1）-f（a）|或|f（a-1）-f（a）|，从而得出结论．

解答 解：∵|x-a|≤1，∴a-1≤x≤a+1，
∵f（x）是二次函数，
∴f（x）在区间[a-1，a+1]上单调时，|f（x）-f（a）|取得最大值为|f（a+1）-f（a）|或|f（a-1）-f（a）|，
而|f（a+1）-f（a）|=|（a+1）²+3（a+1）-a²-3a）|=|2a+4|≤2|a|+4，
|f（a-1）-f（a）|=|（a-1）²+3（a-1）-a²-3a|=|-2a-2|=|2a+2|≤2|a|+2．
∴|f（x）-f（a）|≤2|a|+4，
故选B．

点评 本题考查了二次函数的性质，利用函数的最值研究恒成立问题的思路，同时结合函数图象分析问题是关键．