Question

5．已知A，B，C，D是同一球面上的四个点，其中△ABC是正三角形，AD⊥平面ABC，AD=2AB=6则该球的表面积为32$\sqrt{3}π$．

Answer 1

分析 由题意画出几何体的图形，把A、B、C、D扩展为三棱柱，上下底面中心连线的中点与A的距离为球的半径，由此能求出球的体积．

解答 解：由题意画出几何体的图形，
把A、B、C、D扩展为三棱柱，
上下底面中心连线的中点与A的距离为球的半径，
AD=2AB=6，OE=3，△ABC是正三角形，
∴AE=$\frac{2}{3}\sqrt{A{B}^{2}-（\frac{1}{2}AB）^{2}}$=$\sqrt{3}$，AO=$\sqrt{{3}^{2}+（\sqrt{3}）^{2}}$=2$\sqrt{3}$，
∴球的体积为V=$\frac{4π}{3}（2\sqrt{3}）^{3}$=32$\sqrt{3}π$．
故答案为：32$\sqrt{3}π$．

点评 本题考查球的表面积的求法，考查球、三棱柱等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方思想，是中档题．