Question

等差数列{a_n}的公差d不为0，S_n是其前n项和，给出下列命题：
①若d＞0，且S₃=S₈，则S₅和S₆都是{S_n}中的最小项；
②给定n，对于一切k∈N₊（k＜n），都有a_n-k+a_n+k=2a_n；
③若d＜0，则{S_n}中一定有最大的项；
④存在k∈N₊，使a_k-a_k+1和a_k-a_k-1同号；
⑤S₂₀₁₃＞3（S₁₃₄₂-S₆₇₁）．
其中正确命题的序号为

 

．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：阅读型,等差数列与等比数列

分析：对于①，由求和公式，推出a₆=0，得a₁＜0，d＞0，即可判断；对于②，由等差中项的性质，即可判断；
对于③，当d＜0时，运用求和公式，结合二次函数的图象，即可判断；
对于④，由等差数列的定义，即可判断；对于⑤，由每隔n项求和成等差数列，即S₆₇₁，S₁₃₄₂-S₆₇₁，S₂₀₁₃-S₁₃₄₂成等差数列，即可判断．

解答： 解：对于①，当d＞0，且S₃=S₈时，可得a₁＜0，a₄+a₅+a₆+a₇+a₈=0，即5a₆=0，a₆=0，
则S₅和S₆都是{S_n}中的最小项，故①对；
对于②，由等差中项的性质，可得给定n，对于一切k∈N₊（k＜n），都有a_n-k+a_n+k=2a_n，故②正确；
对于③，当d＜0时，S_n=na₁+

1

2

n（n-1）d=

d

2

n²+（a₁-

d

2

）n，可知S_n中一定有最大项，故③正确；
对于④，a_k-a_k+1和a_k-a_k-1符号相反，故④不正确；
对于⑤，∵S₆₇₁，S₁₃₄₂-S₆₇₁，S₂₀₁₃-S₁₃₄₂成等差数列，∴2（S₁₃₄₂-S₆₇₁）=S₆₇₁+（S₂₀₁₃-S₁₃₄₂）
可得S₂₀₁₃=3（S₁₃₄₃-S₆₇₁），故⑤不正确．
故答案为：①②③．

点评：本题考查等差数列的定义、通项和求和，以及等差数列的等差数列的中项的性质和求和的性质，以及等差数列的单调性及最值，属于中档题．