Question

△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且2acosA=bcosC+cosB．
（1）求A的大小；
（2）若a=2，求b+c的取值范围．

Answer 1

考点：正弦定理,余弦定理

专题：解三角形

分析：（Ⅰ）通过正弦定理化简式子并分离出cosA，利用两角和的正弦函数化简求值，再求出A的大小；
（Ⅱ）通过余弦定理以及基本不等式求出b+c的范围，再利用三角形三边的关系求出b+c的范围．

解答： 解：（Ⅰ）∵2acosA=bcosC+ccosB，
∴由正弦定理得，2sinAcosA=sinBcosC+sinCcosB，
即cosA=

sinBcosC+sinCcosB

2sinA

=

sin(B+C)

2sinA

=

1

2

，
∵A∈（0，π），∴A=

π

3

；
（Ⅱ）由余弦定理得，a²=b²+c²-2bccosA，
则4=b²+c²-bc，∴（b+c）²-3bc=4，
即3bc=（b+c）²-4≤3[

1

2

(b+c)]2，
化简得，（b+c）²≤16（当且仅当b=c时取等号），
则b+c≤4，又b+c＞a=2，
综上得，b+c的取值范围是（2，4]．

点评：本题考查正弦定理与余弦定理的应用，两角和的正弦公式，三角形的边角关系式，以及基本不等式求最值，考查分析问题、解决问题的能力．