题目内容
如果关于x的不等式|x-a|+|x+4|≥1的解集是全体实数，则实数a的取值范围是 ．
考点：绝对值不等式的解法
专题：不等式的解法及应用
分析：本题可以利用绝对值不等式求出不等式左边的最小值，利用恒成立思想得到本题结论．
解答：
解：∵关于x的不等式|x-a|+|x+4|≥1的解集是全体实数，
∴即对于任意实数x，|x-a|+|x+4|≥1恒成立．
∵|x-a|+|x+4|=|-x+a|+|x+4|≥|（-x+a）+（x+4）|=|a+4|，
∴|a+4|≥1，
∴a+4≤-1或a+4≥1，
∴a≤-5或a≥-3．
故答案为（-∞，-5]∪[-3，+∞）．
∴即对于任意实数x，|x-a|+|x+4|≥1恒成立．
∵|x-a|+|x+4|=|-x+a|+|x+4|≥|（-x+a）+（x+4）|=|a+4|，
∴|a+4|≥1，
∴a+4≤-1或a+4≥1，
∴a≤-5或a≥-3．
故答案为（-∞，-5]∪[-3，+∞）．
点评：本题考查的是恒成立问题，可以通过研究函数的最小值得到本题结论．本题有一定的思维难度，属于中档题．
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