Question

数列{a_n}首项a₁=1，前n项和S_n与a_n之间满足a_n=

2Sn2

2Sn-1

（n≥2）．
（1）求数列{a_n}前n项和S_n的表达式；
（2）求数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）利用递推关系式求出数列是等差数列，进一步求出通项公式．
（2）根据（1）的结论，进一步求出数列的通项，注意分段数列的条件．

解答： 解：（1）当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1
代入an=

2Sn2

2Sn-1

所以：Sn-Sn-1=

2Sn2

2Sn-1

整理得：S_n-1-S_n=2S_nS_n-1
所以：

1

Sn

-

1

Sn-1

=2(n≥2)

1

S1

=

1

a1

=1
{

1

Sn

}是以1为首项，2为公差的等差数列
所以：

1

Sn

=1+2(n-1)=2n-1
（2）由（1）得：Sn=

1

2n-1

所以：an=Sn-Sn-1=

1

2n-1

-

1

2n-3

=

2n-3-2n+1

(2n-1)(2n-3)

=

-2

(2n-1)(2n-3)

an=

1(n=1) -2 (2n-1)(2n-3) (n≥2)

点评：本题考查的知识要点：利用递推关系式求数列的通项公式，利用前n项和法求数列的通项公式．属于中等题型．