Question

11．已知数列{a_n}的前n项和S_n满足S_n=2a_n-a₁，且a₁，a₂+1，a₃成等差数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=$\frac{2^n}{{{S_n}{S_{n+1}}}}$，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）由S_n=2a_n-a₁，利用a_n=S_n-S_n-1（n≥2），可得a_n=2a_n-1（n≥2），数列{a_n}是以2为公比的等比数列，又a₁，a₂+1，a₃成等差数列，可得a₁+a₃=2（a₂+1），解得a₁，即可得出．
（2）由（1）得${S_n}={2^{n+1}}-2$，可得b_n=$\frac{2^n}{{{S_n}{S_{n+1}}}}$=$\frac{1}{4}$$（\frac{1}{{2}^{n}-1}-\frac{1}{{2}^{n+1}-1}）$，利用裂项求和方法即可得出．

解答 解：（1）因为S_n=2a_n-a₁，所以a_n=S_n-S_n-1（n≥2），
即a_n=2a_n-1（n≥2），即数列{a_n}是以2为公比的等比数列，
又a₁，a₂+1，a₃成等差数列，所以a₁+a₃=2（a₂+1），即a₁+4a₁=2（2a₁+1），解得a₁=2，
所以数列{a_n}的通项公式为${a_n}={2^n}$．
（2）由（1）得${S_n}={2^{n+1}}-2$，所以${b_n}=\frac{2^n}{{{S_n}{S_{n+1}}}}=\frac{2^n}{{（{2^{n+1}}-2）（{2^{n+2}}-2）}}=\frac{2^n}{{4（{2^n}-1）（{2^{n+1}}-1）}}$=$\frac{1}{4}（\frac{1}{{{2^n}-1}}-\frac{1}{{{2^{n+1}}-1}}）$，
${T_n}=\frac{1}{4}[（\frac{1}{2-1}-\frac{1}{{{2^2}-1}}）+（\frac{1}{{{2^2}-1}}-\frac{1}{{{2^3}-1}}）+…+（\frac{1}{{{2^n}-1}}-\frac{1}{{{2^{n+1}}-1}}）]=\frac{1}{4}（1-\frac{1}{{{2^{n+1}}-1}}）$．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式、数列递推关系、裂项求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．